Variables aléatoires réelles --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 10 exercices sur les variables aléatoires réelles.
Les exercices "Construction d'une v.a. de loi discrète", "Description des lois classiques", "Réalisation d'une variable aléatoire" et "Transformation d'une v.a. à densité" portent à la fois sur des lois continues et des lois discrètes. L'exercice "Propriétés d'une loi et transformation linéaire" s'applique à n'importe quel type de v.a. réelles. L'exercice "Des identités utilisant l'espérance" ne s'applique qu'aux v.a. positives. Les autres exercices concernent les lois à densité.
L'exercice "Calculer avec une loi à densité" est paramétrable (voir ci-dessous).
On trouvera d'autres exercices sur les lois de v.a. réelles par exemple dans les modules : OEF loi d'une v.a. discrète, OEF Loi normale et OEF Représentation graphique de lois classiques.

Aires et loi normale

La courbe représente la densité de la loi normale d'espérance et d'écart-type .

xrange , yrange -0.1, hline 0,0,black arrow ,0,-0.1,0,10,black arrow 0,-0.1,0,,10,black text gray, -0.1,0,,0

On note une variable aléatoire de loi normale d'espérance et d'écart-type .

L'aire du domaine colorié est la probabilité d'un des événements ci-dessous, lequel ?

L'aire du domaine colorié est la probabilité de l'évènement .
La probabilité de l'événement est :

Calculer avec une loi à densité

  1. Pour quelle valeur du paramètre , la fonction suivante est-elle une densité de probabilité ?
    leftbrace2 si
    sinon
    La valeur de est :
    2. Bonne réponse ! Il faut et il suffit que
  2. Soit une variable aléatoire de densité . Calculer la probabilité que l'événement se réalise.
    3. Bonne réponse ! P( ) = .
  3. Déterminer .
    4. =

Densité et transformations d'une v.a.

La courbe suivante représente la densité d'une variable aléatoire .

Cliquez sur la courbe qui représente la densité de la variable aléatoire .

Des identités utilisant l'espérance

Soit une variable aléatoire à valeurs dans . Compléter l'identité suivante en entrant une fonction de ) =

Description des lois classiques

  1. La loi est une loi : .
  2. Une variable aléatoire de loi est à valeurs dans :
    .
    NB : sélectionner la réponse la plus précise

  3. pour tout , =

Calcul avec la loi normale

Soit une variable aléatoire de loi normale d'espérance et de variance .
Donner l'expression de la probabilité de l'événement
à l'aide de la fonction de répartition de la loi normale prise uniquement en des valeurs positives ou nulles.
Exemple : si suit la loi , la probabilité que soit inférieure à -1 s'écrira .
P() =

Propriétés d'une loi et transformation linéaire

Soit une variable aléatoire réelle qui admet un moment d'ordre 2 fini. On suppose que son espérance est et est .
On pose .
Complétez :
  1. P( [ ; ] ) = P( [ ; ] ) P( [ ; ] )
  2. L'espérance de est et est .

Réalisation d'une variable aléatoire

On a tiré une réalisation d'une variable aléatoire de loi . On a obtenu . Si on recommence cette expérience, quelle est la probabilité d'obtenir une valeur ?

Construction d'une v.a. de loi discrète

On considère une variable aléatoire de loi uniforme sur l'intervalle [0,1].
  1. Déterminer les valeurs possibles pour la variable aléatoire

    c'est-à-dire déterminer les valeurs qui sont prises avec une probabilité strictement positive (on séparera les valeurs par des virgules).
    Valeurs possibles :
    2. Bonne réponse : les valeurs possibles pour sont bien .
  2. Déterminer la loi de la variable aléatoire .

Transformation d'une v.a. à densité

Soit une variable aléatoire de loi . On considère la variable aléatoire = .
1- Quel type de variable aléatoire est ?
est une v.a. à
Bonne réponse ! est une variable aléatoire .
2- Compléter l'expression suivante de la fonction , pour que soit la fonction de répartition de si si si Compléter l'expression suivante qui définit la loi de si est entier et si n'est pas entier ou si ou si

NB : on écrira inf pour +infty et -inf pour -infty
2- Bonne réponse ! La fonction de répartition de est définie par :
pour tout .
leftbrace3 si
si
leftbrace4 si
si
si
3- Compléter l'expression suivante de la fonction afin que ce soit une densité pour pour tout .
leftbrace3 si
sinon

2- Bonne réponse ! On a bien
leftbrace3 si est un entier et si si si
sinon

3- Compléter l'expression suivante de la fonction , afin que ce soit la fonction de répartition de
leftbrace4 si
si
si
NB : on écrira floor(x) pour désigner la partie entière de . The most recent version
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